ヘルムホルツ方程式は \[ (\nabla^{2} + k^{2})u({\bf r}) = 0 \]

これより、グリーン関数は \[ (\nabla^{2} + k^{2}) G_{0}({\bf r}, {\bf r}^{\prime}) = -\delta({\bf r} - {\bf r}^{\prime}) \] となる。

この方程式を解く際に、コーシーの積分定理 を使用する。 理解が不十分な場合はこちらを復習する。

上記の方程式を解くと、その主要な解は \[ G_{0}({\bf r}, {\bf r}^{\prime}) = \dfrac{e^{ik|r-r^{\prime}|}}{4\pi |r-r^{\prime}|} \] となる。

ノート

ヘルムホルツ方程式の主要解について