アルファ崩壊
半減期
\[ T_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2m}{E}} a \log 2 \exp \left[ \dfrac{2\sqrt{2mE}}{\hbar}b (\arccos\varepsilon - \varepsilon\sqrt{1-\varepsilon^{2}}) \right] \] となる。$\mathcal{O}(\varepsilon^{3})$ までとると \[ T_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2m}{E}} a \log 2 \exp\left[ \dfrac{\pi\sqrt{2mc^{2}}\gamma}{\sqrt{E}} - 4\sqrt{\dfrac{2mc^{2}\gamma a}{\hbar c}} + \frac{2}{3} \sqrt{\dfrac{2mc^{2}a^{3}}{\gamma(\hbar c)^{3}}E} \right] \] ただし、 \[ \gamma = Z_{\alpha}Z_{D}\alpha \]
Geiger-Nuttall の法則
上記の式の指数関数の中の第2項目までを採用したものを Geiger-Nuttallの法則 という。 具体的な値を入れて評価してみる。
ポロニウム($Z=84$)の場合
質量数$A=218$であり、$Z_{\alpha}=2$、$Z_{D} = 82$、$\alpha\simeq 1/137$により $\gamma \simeq 1.2$である。 また、原子核の半径は質量数を用いて \[ a=r_{0}\times A^{1/3}, \quad \text{where}\quad r_{0} \sim 1.2 {\rm fm} \] と表されるので、ポロニウムの場合は$a=7.22 \times 10^{-15}$mとなる。 ポロニウムの質量は$m=3.727 \text{GeV/c^{2}}$であるから、 \begin{align*} \pi \sqrt{2mc^{2}}\gamma & =3.25 \times 10^{2} [Mev]^{1/2}\\ \sqrt{2m}a\log 2 &= 1.4*10^{-22} [MeV^{1/2}s] \\ 4\sqrt{\frac{2mc^{2}\gamma a}{\hbar c}} & \simeq 71.9 \end{align*} よってこの場合の半減期とヘリウムのエネルギーの関係は \[ T_{1/2} = \frac{1.4\times 10^{-22}}{\sqrt{E}} \exp \left[ \frac{3.25\times 10^{2}}{\sqrt{E}} - 71.9 \right] \] となり、グラフにすると以下のようになる。
例えば、$E=4MeV$のときは$T_{1/2} = 4.94\times 10^{9}$年であり、$E=5MeV$のときは$T_{1/2}=1.56\times 10^{2}$年となり、指数関数内の$1/\sqrt{E}$の依存性によるオーダーの変化の特徴が現れている。