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physics:qm:hydrogen_wavefunc

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水素原子の波動関数

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水素原子の波動関数の導出ノート

https://youtu.be/FNahnz2PRns

まず、水素型の原子における電子を記述するシュレーディンガー方程式は球座標表示で以下のようになる。 \begin{equation} -\dfrac{\hbar^{2}}{2m} \biggl[ \dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial r}\biggl(r^{2} \dfrac{\partial}{\partial r}\biggr) + \dfrac{1}{r^{2}\sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \dfrac{\partial}{\partial\theta}\biggr) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \dfrac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} + V \biggr]\psi = E\psi \end{equation}

ここで、$V=-\dfrac{Ze^{2}}{r}$により、ポテンシャルが$r$のみの関数になっているため、 波動関数は$r,\theta,\varphi$のそれぞれの関数に分離でき、 \begin{equation} \psi(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) \end{equation} のように変数分離することができる。

各変数の微分方程式を解いていくことによって、最終的に以下の結果を得る。 \begin{align} \psi_{nlm}(r,\theta,\varphi) &= R_{nl}(r)\Theta_{lm}(\theta)\Phi_{m}(\varphi) \\ R_{nl}(r) &= \left[\biggl(\dfrac{2Z}{na_{0}}\biggr)^{3} \dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\{ (n+\ell)!\}^{3}}\right]^{1/2} e^{-\frac{\rho}{2}} \rho^{\ell} L_{n+\ell}^{\; 2\ell+1}(\rho) \\ \Theta(\theta) &= \left[ \dfrac{(2\ell+1)(\ell-|m|)!}{2(\ell+|m|)!} \right]^{1/2} P_{\ell}^{\;|m|}(\cos\theta) \\ \Phi_{m}(\varphi) &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} \end{align} ただし、$a_{0}=\dfrac{\hbar^{2}}{me^{2}}$はBoah半径、$\rho = 2\alpha r = \dfrac{2Z}{na_{0}}r$となっている。

physics/qm/hydrogen_wavefunc.1753082168.txt.gz · 最終更新: 2025/07/21 16:16 by mikoto