$$(\vec{\alpha} \cdot \vec{p} + \beta m) \psi= E \psi$$

正エネルギー解 $$u_{s}(\vec{p}) = \sqrt{\frac{E+m}{2E}} \begin{pmatrix} h_{s} \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E_{p} + m}h_{s} \end{pmatrix}$$

負エネルギー解 $$\begin{align} v_{s}(\vec{p}) = \sqrt{\frac{\lvert E\rvert_{p}|+m}{2\lvert E\rvert_{p}}} \begin{pmatrix} -\frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E_{p} + m}h_{s} \\ h_{s} \end{pmatrix} \end{align}$$

ただし, $$\begin{align} h_{+} &= \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} e^{i\varphi} \end{pmatrix} \\ h_{-} &= \begin{pmatrix} -\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\varphi} \\ \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{align}$$