physics:qm:alpha_decay

差分

このページの2つのバージョン間の差分を表示します。

この比較画面へのリンク

--- physics:qm:alpha_decay [2023/07/14 07:54] – 作成 mikoto
+++ physics:qm:alpha_decay [2023/07/18 23:17] (現在) – mikoto
@@ 行 2: / 行 2: @@
 [[physics:qm|ひとつ上へ]]
-半減期は
+===== 半減期 =====
+\[
+T_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2m}{E}} a \log 2
+\exp \left[
+\dfrac{2\sqrt{2mE}}{\hbar}b (\arccos\varepsilon - \varepsilon\sqrt{1-\varepsilon^{2}})
+\right]
+\]
+となる。$\mathcal{O}(\varepsilon^{3})$ までとると
 \[
 T_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2m}{E}} a \log 2
@@ 行 10: / 行 17: @@
 \right]
 \]
+ただし、
+\[
+\gamma = Z_{\alpha}Z_{D}\alpha
+\]
+===== Geiger-Nuttall の法則 =====
+上記の式の指数関数の中の第2項目までを採用したものを** Geiger-Nuttallの法則 ** という。
+具体的な値を入れて評価してみる。
+==== ポロニウム($Z=84$)の場合 ====
+質量数$A=218$であり、$Z_{\alpha}=2$、$Z_{D} = 82$、$\alpha\simeq 1/137$により
+$\gamma \simeq 1.2$である。
+また、原子核の半径は質量数を用いて
+\[
+a=r_{0}\times A^{1/3}, \quad \text{where}\quad r_{0} \sim 1.2 {\rm fm}
+\]
+と表されるので、ポロニウムの場合は$a=7.22 \times 10^{-15}$mとなる。
+ポロニウムの質量は$m=3.727 \text{GeV/c^{2}}$であるから、
+\begin{align*}
+\pi \sqrt{2mc^{2}}\gamma & =3.25 \times 10^{2} [Mev]^{1/2}\\
+\sqrt{2m}a\log 2 &= 1.4*10^{-22} [MeV^{1/2}s] \\
+\sqrt{\frac{2mc^{2}\gamma a}{\hbar c}} & \simeq 71.9
+\end{align*}
+よってこの場合の半減期とヘリウムのエネルギーの関係は
+\[
+T_{1/2} = \frac{1.4\times 10^{-22}}{\sqrt{E}}
+\exp \left[
+\frac{3.25\times 10^{2}}{\sqrt{E}} - 71.9
+\right]
+\]
+となり、グラフにすると以下のようになる。
+{{ :physics:qm:ポロニウム_a_218_の半減期_sec_.png |}}
+例えば、$E=4MeV$のときは$T_{1/2} = 4.94\times 10^{9}$年であり、$E=5MeV$のときは$T_{1/2}=1.56\times 10^{2}$年となり、指数関数内の$1/\sqrt{E}$の依存性によるオーダーの変化の特徴が現れている。
+===== ノート =====
+  - {{ :physics:qm:alpha_decay.pdf |アルファ崩壊ノート}}
+  - {{ :physics:qm:alphadecay_02_half_life_po.pdf |ポロニウムの半減期}}

physics/qm/alpha_decay.1689288879.txt.gz · 最終更新: 2023/07/14 07:54 by mikoto