physics:qft:moller_scattering

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 ====== Møller散乱 ======
+[[physics:qft|一つ上へ]]
 ===== 概要 =====
 つのフェルミオンからn粒子に散乱する散乱断面積を計算する。
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 ここでは詳細は記載せずどこからどこまで計算するかのポイントを記載する。
 散乱断面積を計算するために必要となる<wrap hi>単位時間あたりの散乱確率</wrap>を確認
-\[
+\begin{align}
-w_{fi} = \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|U(t_{2},t_{1}) - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}}
+w_{fi} &= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|U(t_{2},t_{1}) - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} \\
-= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|S - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}}
+&= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|S - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}}
-\]
+\end{align}
+===== 2粒子→2粒子過程=====
+散乱断面積は
+\begin{align}
+\sigma &= \frac{1}{4(2\pi)^{2}v_{rel}E_{p_{1}}E_{p_{2}}}
+\int \frac{d^{3}{\bf q}_{1}}{2E_{q_{1}}} \frac{d^{3}{\bf q}_{2}}{2E_{q_{2}}}
+\delta(E_{f} - E_{i}) \delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i})
+\times V^{4} 2E_{p_{1}}2E_{p_{2}}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}} \lvert\langle f\lvert\mathcal{T}\rvert i\rangle \rvert
+\end{align}
 終状態の積分について、
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 \frac{\sqrt{q_{10}^{2}-M_{1}^{2}}}{2} \delta[(p_{1}+p_{2})^{2} - 2(p_{1}+p_{2})\cdot q_{1} + M_{1}^{2}- M_{2}^{2}]
 \end{align}
+重心系をとると、${\bf p}_{1} + {\bf p}_{2} = 0$となり、
+\begin{align}
+(p_{1}+p_{2})^{2} = (p_{10} + p_{20})^{2} - (\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2})^{2}
+= (E_{1} + E_{2})^{2} = s = E_{tot}^{2}
+\end{align}
+このとき、
+\begin{align}
+I &= \int d\Omega \frac{\sqrt{[s-(M_{1}-M_{2})^{2}][s-(M_{1}+M_{2})^{2}]}}{8s}
+\end{align}
+<wrap em>微分散乱断面積</wrap>は以下のようになる。
+<WRAP box 100%>
+\begin{align}
+\frac{d\sigma}{d\Omega} =
+\frac{1}{(8\pi)^{2} E_{tot}^{2}}
+\frac{\lvert {\bf p}_{f}\rvert}{\lvert {\bf p}_{i}\rvert}
+\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2},
+\quad \text{where} \quad
+\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2}
+= \sum_{final} V^{4} 2E_{1}2E_{2}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}}\lvert \langle f\lvert T \rvert i \rangle \rvert^{2}
+\end{align}
+</WRAP>
+===== 参考 =====
+{{ :physics:qft:mollerscattering.pdf |Møller散乱ノート}}

physics/qft/moller_scattering.1673200861.txt.gz · 最終更新: 2023/01/09 03:01 by mikoto