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エネルギー運動量テンソル

場の変分はδϕr(x)ϕr(x)ϕr(x)と定められる。 加えて,以下の座標変換を考える。 xμ=xμ+εμνxν+aμ 次に,座標変換後の場ともともとの場の変分をδTϕr(x)とすると, δTϕr(x)=ϕr(x)ϕr(x)=ϕr(x)ϕr(x)+ϕr(x)ϕr(x)=δϕr(x)+μϕr(x)δxμ となる。ただし,無限小変換を考えている限り,δϕr(x)=δϕr(x) となるので, δTϕr(x)=δϕr(x)+μϕr(x)δxμ が得られる。ここで,座標変換まで含んだ作用変分 δTS=d4xL(ϕr(x),μϕr(x))d4xL(ϕr(x),μϕr(x)) を考える。積分変数を揃えるために第1項目を書き換える。 d4x=(x0,x1,x2,x3)(x0,x1,x2,x3)d4x=|x0/x0x0/x1x0/x2x0/x3x1/x0x1/x1x1/x2x1/x3x2/x0x2/x1x2/x2x2/x3x3/x0x3/x1x3/x2x3/x3|d4x 無限小変換の場合 (x0,x1,x2,x3)(x0,x1,x2,x3)=1+νδxν となるから, δTS=d4x[L(ϕ(x),μϕr(x))(1+νδxν)L(ϕr(x),μϕr(x))]=d4x[{L(ϕr(x),μϕr(x))+(Lϕr)δTϕr+(L(μϕr))δTμϕr}(1+νδxν)L(ϕr(x),μϕr(x))]=d4x[{L(ϕr(x),μϕr(x))νδxν+{μ(L(μϕr))δTϕr+(L(μϕr))δTμϕr}] となる。ここで,作用積分Sが不変であれば (Lϕr)δTϕr(x)+(L(μϕr))δTμϕr(x)+Lνδxν=0 となる。また, δϕr(x)=δTϕr(x)μϕr(x)δxμ であり,変分δは微分と交換可能なことから δTμϕr(x)=δμϕr(x)+μνϕr(x)δxν=μδϕr(x)+μνϕr(x)δxν=μ[δTϕr(x)νϕr(x)δxν]+μνϕr(x)δxν=μδTϕr(x)μνϕr(x)δxννϕr(x)μδxν+μνϕr(x)δxν=μδTϕr(x)νϕr(x)μδxν となることを用いると,作用変分は δTS=d4x[Lνδxν+(Lϕr)δTϕr(x)+(L(μϕr)){μδTϕr(x)νϕr(x)μδxν}]=d4x[Lνδxν+μ(L(μϕr))δTϕr(x)+(L(μϕr))μδTϕr(x)(L(μϕr))νϕr(x)μδxν]=d4x[μ{Lδxμ}μLδxμ+μ{(L(μϕr))δTϕr(x)}μ{(L(μϕr))νϕr(x)δxν}+μ{(L(μϕr))νϕr(x)}δxν]=d4x[μ{L(μϕr)δTϕr(x)L(μϕr)νϕr(x)δxν+L(ϕr,νϕr)δxμ}+{Lϕrνϕr(x)+L(μϕr)μνϕr(x)μL}δxμ]=d4x[μ{L(μϕr)δTϕr(x)(L(μϕr)νϕr(x)gμνL)δxν}] が得られる。これにより,最終的に δTS=d4xμ[L(μϕr)δTϕr(x)Tμνδxν] を得る。ここで, Tμν=L(μϕr)νϕrgμνL はエネルギー運動量テンソルであり,保存則の式として μ[L(μϕr)δTϕr(x)Tμνδxν]=0 が得られ,場の理論におけるNoether カレントの保存則を表す。 \subsection{時間と空間の平行移動に対する保存量} 時間と空間の並進について考えると,xμ=xμ+εμ であり,δTϕr=0となっているので,保存カレントはTμν となり,μTμν=0が成り立つ。これより,保存量は Pμd3\bmxTμ0=d3\bmx{πr(x)νϕr(x)Lgμ0} となる。 時間成分と空間成分をそれぞれ書くと, P0=d3\bmx{πr(x)˙ϕr(x)L(ϕr,μϕ)}=d3\bmxH=HPj=d3\bmx{πr(x)jϕr(x)} となり,ハミルトニアンと運動量であることがわかる。 \subsection{ローレンツ変換に対する保存量} 無限小ローレンツ変換はεμν=ενμを用いて δxμ=εμνxν,δTϕr(x)=12εμν(Sμν)rsϕs(x) Sμνはローレンツ変換の生成子の一つの表現で {スピン0(スカラー場)ならSμν=0スピン12(フェルミオン場)ならSμν=14[γμ,γν]スピン1(ベクトル場)ならSμν=Sμν=Lμν ベクトル場の場合, δxμ=εμνxν=12εαβ(Sαβ)μνxν より, εμνxν=εαβδαμδβνxν=12εαβ(Sαβ)μνxν また, εμνxν=12εβα(Sαβ)μνxν より, εμνxν=εβαδβαδανxν=12εβα(Sαβ)μνxν よって, 12(Sαβ)μν=δαμδβν12(Sαβ)μν=δβμδαν 以上より, (Sαβ)μν=δαμδβνδβμδαν 保存則の式に代入すると, L(μϕr)δTϕr(x)Tμνδxν=L(μϕr)12ενλ(Sνλ)rsϕsTμνενλxλ=12ενλL(μϕr)(Sνλ)rsϕs12ενλTμνxλ+12ελνTμλxν=12ενλ[L(μϕr)(Sνλ)rsϕsTμνxλ+Tμλxν] これより,Noetherカレントは Mμνλ=L(μϕr)(Sνλ)rsϕsTμνxλ+Tμλxν となる。この保存則はμMμνλと書かれるので, 保存量は Mμν=d3\bmxM0μν=d3\bmx[L(0ϕr)(Sμν)rsϕs(x)T0μxν+T0νxμ]=d3\bmx[πr(x)(Sμν)rsϕs(x)T0μxν+T0νxμ] 特に,空間成分については Mij=d3\bmx[πr(x)(Sij)rsϕs(x)pixj+pjxi]