====== Møller散乱 ======
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===== 概要 =====
2つのフェルミオンからn粒子に散乱する散乱断面積を計算する。

この計算の派生として、場の理論からポテンシャルを求めることが可能となる。
場の理論は相対論的な理論であるため、比較する際は非相対論的極限を取る必要がある。

===== 計算の流れ =====
ここでは詳細は記載せずどこからどこまで計算するかのポイントを記載する。
散乱断面積を計算するために必要となる<wrap hi>単位時間あたりの散乱確率</wrap>を確認
\begin{align}
w_{fi} &= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|U(t_{2},t_{1}) - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} \\
&= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|S - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}}
\end{align}
===== 2粒子→2粒子過程=====
散乱断面積は
\begin{align}
\sigma &= \frac{1}{4(2\pi)^{2}v_{rel}E_{p_{1}}E_{p_{2}}}
\int \frac{d^{3}{\bf q}_{1}}{2E_{q_{1}}} \frac{d^{3}{\bf q}_{2}}{2E_{q_{2}}}
\delta(E_{f} - E_{i}) \delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i})
\times V^{4} 2E_{p_{1}}2E_{p_{2}}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}} \lvert\langle f\lvert\mathcal{T}\rvert i\rangle \rvert
\end{align}

終状態の積分について、
\[
\dfrac{1}{2E} =  \int_{-\infty}^{\infty} dq_{0} \delta(q^{2} - m^{2}) \theta(q_{0})
\]
を用いると、
\begin{align}
I &=\int \dfrac{d^{3}{\bf q}_{1}}{2E_{q_{1}}} \int \dfrac{d^{3}{\bf q}_{2}}{2E_{q_{2}}}
\delta(E_{f} - E_{i})\delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i}) \\
&= \int_{0}^{E_{1}+E_{2}} dq_{10}\int d\Omega
\frac{\sqrt{q_{10}^{2}-M_{1}^{2}}}{2} \delta[(p_{1}+p_{2})^{2} - 2(p_{1}+p_{2})\cdot q_{1} + M_{1}^{2}- M_{2}^{2}]
\end{align}
重心系をとると、${\bf p}_{1} + {\bf p}_{2} = 0$となり、
\begin{align}
(p_{1}+p_{2})^{2} = (p_{10} + p_{20})^{2} - (\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2})^{2}
= (E_{1} + E_{2})^{2} = s = E_{tot}^{2}
\end{align}
このとき、
\begin{align}
I &= \int d\Omega \frac{\sqrt{[s-(M_{1}-M_{2})^{2}][s-(M_{1}+M_{2})^{2}]}}{8s}
\end{align}

<wrap em>微分散乱断面積</wrap>は以下のようになる。

<WRAP box 100%>
\begin{align}
\frac{d\sigma}{d\Omega} =
\frac{1}{(8\pi)^{2} E_{tot}^{2}}
\frac{\lvert {\bf p}_{f}\rvert}{\lvert {\bf p}_{i}\rvert}
\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2},
\quad \text{where} \quad
\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2}
= \sum_{final} V^{4} 2E_{1}2E_{2}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}}\lvert \langle f\lvert T \rvert i \rangle \rvert^{2}
\end{align}
</WRAP>

===== 参考 =====
{{ :physics:qft:mollerscattering.pdf |Møller散乱ノート}}