physics:qft:pion_interaction_from_fermi_theory

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--- physics:qft:pion_interaction_from_fermi_theory [2023/02/26 13:03] – 作成 mikoto
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 ====== フェルミの4点相互作用を用いたパイオン相互作用の考察 ======
+Lorentz不変の相互作用として
+\begin{align}
+\mathcal{H}_{int} = \sum_{i} (\bar{\psi}_{u}\Gamma_{i} \psi_{d})
+[\bar{\psi}_{e} \Gamma_{i}(C_{i}+C_{i}^{\prime}\gamma_{5})\psi_{\nu}] + H.C
+\end{align}
+ただし、
+\[
+\Gamma_{i} =
+\begin{cases}
+& Schalar\\
+\gamma_{\lambda} & Vector \\
+\sigma_{\lambda\sigma} & Tensor \\
+i\gamma_{5}\gamma_{\lambda} & Axial-Vector \\
+\gamma_{5} & Pseudo-Scalar
+\end{cases}
+\]
+散乱振幅は
+\begin{align}
+\langle f| \mathcal{H}_{int} |i\rangle
+&= \frac{1}{V^{2}}\sum_{i} (\bar{v}_{\bar{u}}(p_{\bar{u}}\Gamma_{i} u_{d}(p_{d}))
+[\bar{u}_{e}(p_{e}) \Gamma_{i}(C_{i}+C_{i}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})] \\
+& \times (2\pi)^{4}\delta^{(4)}(p_{e}+p_{\bar{\nu}} - p_{\bar{u}} - p_{d})
+\end{align}
+各項をまとめると
+\begin{align}
+&(p_{\bar{u}}\Gamma_{i} u_{d}(p_{d}))
+[\bar{u}_{e}(p_{e}) \Gamma_{i}(C_{i}+C_{i}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})] \\
+&= -(v^{\dagger}_{\bar{u}} u_{d})
+[\bar{u}_{e}(p_{e}) \gamma_{5}(C_{P}+C_{P}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})
+- \bar{u}_{e}(p_{e}) \gamma_{5}\gamma_{0}(C_{A}+C_{A}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})] \\
+& -(v^{\dagger}_{\bar{u}} \sigma^{i} u_{d})
+[\bar{u}_{e}(p_{e}) \gamma^{i}(C_{V}+C_{V}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})
+- 2\bar{u}_{e}(p_{e}) \sigma^{0i}(C_{T}+C_{T}^{\prime}\gamma_{5})v_{\bar{\nu}}(p_{\bar{\nu}})]
+\end{align}
+$(v^{\dagger}_{\bar{u}} u_{d})$の部分はパイオンと見ることができるが、
+\[
+\mathcal{H}_{int} \propto \partial_{\lambda}\phi_{\pi}[\bar{\psi}_{e}\gamma_{5}\gamma^{\lambda}(1+\gamma_{5})\psi_{\nu}]
+\]
+の形とは異なっている。
+おそらくはじめにパイオンの静止系を仮定したことによる。
 ===== 参考資料 =====
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-{{ :physics:qft:fermi_and_weak_interactions.pdf | Fermi相互作用からパイオン相互作用の導出ノート}}
+{{ :physics:qft:fermi_pion_interaction.pdf |Fermi理論->パイオン相互作用チェック}}
 点相互作用からパイオン崩壊の相互作用がどのように導出されるかについてのチェックを行った。
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physics/qft/pion_interaction_from_fermi_theory.1677384198.txt.gz · 最終更新: 2023/02/26 13:03 by mikoto