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physics:qft:moller_scattering

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physics:qft:moller_scattering [2023/01/09 03:00] – mikotophysics:qft:moller_scattering [2024/05/13 21:29] (現在) – mikoto
行 1: 行 1:
 ====== Møller散乱 ====== ====== Møller散乱 ======
 +[[physics:qft|一つ上へ]]
 ===== 概要 ===== ===== 概要 =====
 2つのフェルミオンからn粒子に散乱する散乱断面積を計算する。 2つのフェルミオンからn粒子に散乱する散乱断面積を計算する。
行 9: 行 10:
 ここでは詳細は記載せずどこからどこまで計算するかのポイントを記載する。 ここでは詳細は記載せずどこからどこまで計算するかのポイントを記載する。
 散乱断面積を計算するために必要となる<wrap hi>単位時間あたりの散乱確率</wrap>を確認 散乱断面積を計算するために必要となる<wrap hi>単位時間あたりの散乱確率</wrap>を確認
-\[ +\begin{align} 
-w_{fi} = \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|U(t_{2},t_{1}) - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} +w_{fi} &= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|U(t_{2},t_{1}) - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} \\ 
-= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|S - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} +&= \lim_{\substack{t_{1}\to -\infty \\ t_{2} \to \infty}} \dfrac{|\langle f|S - 1 |i\rangle|^{2}}{t_{2} - t_{1}} 
-\]+\end{align} 
 +===== 2粒子→2粒子過程===== 
 +散乱断面積は 
 +\begin{align} 
 +\sigma &= \frac{1}{4(2\pi)^{2}v_{rel}E_{p_{1}}E_{p_{2}}} 
 +\int \frac{d^{3}{\bf q}_{1}}{2E_{q_{1}}} \frac{d^{3}{\bf q}_{2}}{2E_{q_{2}}} 
 +\delta(E_{f} - E_{i}) \delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i}) 
 +\times V^{4} 2E_{p_{1}}2E_{p_{2}}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}} \lvert\langle f\lvert\mathcal{T}\rvert i\rangle \rvert 
 +\end{align}
  
 終状態の積分について、 終状態の積分について、
行 23: 行 32:
 \delta(E_{f} - E_{i})\delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i}) \\ \delta(E_{f} - E_{i})\delta^{(3)}(\vec{p}_{f} - \vec{p}_{i}) \\
 &= \int_{0}^{E_{1}+E_{2}} dq_{10}\int d\Omega &= \int_{0}^{E_{1}+E_{2}} dq_{10}\int d\Omega
-\dfrac{\sqrt{q_{10}^{2}-M_{1}}}{2} \delta[(p_{1}+p_{2})^{2} - 2(p_{1}+p_{2})\cdot q_{1} + M_{1}^{2}- M_{2}^{2}]+\frac{\sqrt{q_{10}^{2}-M_{1}^{2}}}{2} \delta[(p_{1}+p_{2})^{2} - 2(p_{1}+p_{2})\cdot q_{1} + M_{1}^{2}- M_{2}^{2}]
 \end{align} \end{align}
 +重心系をとると、p1+p2=0となり、
 +\begin{align}
 +(p_{1}+p_{2})^{2} = (p_{10} + p_{20})^{2} - (\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2})^{2}
 += (E_{1} + E_{2})^{2} = s = E_{tot}^{2}
 +\end{align}
 +このとき、
 +\begin{align}
 +I &= \int d\Omega \frac{\sqrt{[s-(M_{1}-M_{2})^{2}][s-(M_{1}+M_{2})^{2}]}}{8s}
 +\end{align}
 +
 +<wrap em>微分散乱断面積</wrap>は以下のようになる。
 +
 +<WRAP box 100%>
 +\begin{align}
 +\frac{d\sigma}{d\Omega} =
 +\frac{1}{(8\pi)^{2} E_{tot}^{2}}
 +\frac{\lvert {\bf p}_{f}\rvert}{\lvert {\bf p}_{i}\rvert}
 +\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2},
 +\quad \text{where} \quad
 +\lvert \langle f\lvert t \rvert i \rangle \rvert^{2}
 += \sum_{final} V^{4} 2E_{1}2E_{2}2E_{q_{1}}2E_{q_{2}}\lvert \langle f\lvert T \rvert i \rangle \rvert^{2}
 +\end{align}
 +</WRAP>
 +
 +===== 参考 =====
 +{{ :physics:qft:mollerscattering.pdf |Møller散乱ノート}}
physics/qft/moller_scattering.1673200817.txt.gz · 最終更新: 2023/01/09 03:00 by mikoto